Фамилия Алексеик образована от крестильного имени Алексей, которое в переводе с греческого означает «помощник» или «заступник». В основе лежит популярная на восточнославянских землях модель — к полной форме имени добавили уменьшительно-ласкательный суффикс -ик. Такие суффиксы (в ряду -ук, -юк, -ик, -чик) характерны прежде всего для украинской и белорусской ономастики, где они указывали на родство: Алексеик буквально понималось как «сын Алексея» или «маленький Алексей».

Покровителем имени считается христианский святой Алексей, человек Божий. Его житие, известное и на Востоке, и на Западе, рассказывает, что он родился в знатной римской семье. Родители выбрали ему невесту из знатного рода, но в ночь после обручения Алексей отдал ей поясную пряжку и обручальное кольцо, покинул дом и уплыл на корабле на Восток. Семнадцать лет он жил милостыней в Эдессе, питался хлебом и водой, так изменился внешне, что даже слуги, посланные на его розыски, подали ему подаяние и не узнали его. Скончался Алексей в 417 году, а его тело, выставленное для прощания, прославилось исцелениями — папа и император лично несли гроб в погребальной процессии. Почитание святого распространилось сначала по Сирии, затем по всей Византийской империи, а с X века его имя вошло и в римские святцы. День памяти — 17 марта.

Фамилии на -ик в украинской традиции часто давали не просто по имени отца, а как прозвище младшему члену семьи или подмастерью. Так Алексеик мог закрепиться за человеком, который был сыном, внуком или учеником Алексея. В польских и белорусских землях встречаются однокоренные варианты Алексеевич, Алексеенко, Алексеюк — и все они восходят к тому же имени, но различаются суффиксами, указывающими на регион и способ образования. Фамилия Алексеик, с её редким для русского слуха окончанием, ясно выдаёт западнорусское или южнорусское происхождение предков, где такая словообразовательная модель была обычной.