Фамилия Алгайер — редкий для России случай, когда немецкая по происхождению фамилия закрепилась в русском контексте, не пройдя массовой русификации. Скорее всего, вы столкнулись с вариантом написания немецкой фамилии Allgäuer или Allgaier. Её основа — название региона Альгой (Allgäu) на юго-западе Баварии, у границы с Австрией. Суффикс -er в немецких фамилиях указывает на происхождение: Allgäuer — это «человек из Альгоя», то есть уроженец этой местности. В русской передаче двойное l и умлаут над a упростились: Allgäuer → Алгайер. Фонетически это естественно: умлаут (ä) звучит как нечто среднее между «э» и «а», а в письме его часто заменяли на «а» или «е».

Вторую версию — от сложения немецких слов all (весь) и Geier (коршун или, в переносном смысле, жадный человек) — обычно приводят для фамилии Allgeier, но для Allgaier она слабее. Словарь немецких фамилий Ганса Бахлова подтверждает: Allgäuer — это в первую очередь топонимическая фамилия, указывающая на выходца из Альгоя, а не на прозвище. Прозвищная версия могла бы описывать человека с хищным или цепким характером, но в реальных немецких записях она уступает географической привязке.

В России фамилия могла появиться вместе с немецкими колонистами, которых приглашали при Екатерине II в XVIII–XIX веках, или позже, в ходе миграций. Если ваши предки носили эту фамилию, они с большой вероятностью были выходцами из южной Германии, возможно, крестьянами или ремесленниками, которые переселились на Волгу, в Причерноморье или в крупные города. Фамилия не получила широкого распространения в России — она остаётся штучной, что типично для поздних переселенческих фамилий.

С точки зрения словообразования, в русском контексте фамилия не адаптировалась суффиксами (-ов, -ин), а сохранила исходную немецкую форму. Это отличает её, скажем, от фамилии Алгаев, которая могла бы возникнуть из того же корня, но с русским окончанием. Если вы встречаете вариант Алгайер с ударением на последний слог — это ближе к немецкому произношению (Альга́йер), если на первый — результат обрусения.