Фамилия Алимкина — женская форма, мужской вариант — Алимкин. В основе лежит имя или прозвище, и здесь есть два объяснения, причём одно убедительнее другого. Основная версия: фамилию образовали от православного крестильного имени Алим. Это народная, просторечная форма канонического имени Алипий (в церковной традиции — Алипий, от греческого «беспечальный»). В русском языке такие сокращения имён были обычным делом: Алипий превращался в Алима, а тот дал начало фамилии с типичным русским суффиксом принадлежности -ин. Алимкин означает «сын Алима» или «из семьи Алима». Суффикс -ин указывает на происхождение от существительных, оканчивающихся на -а/-я — как раз подходит к имени Алима.

Вторая, менее вероятная версия выводит фамилию от тюркского имени Алим (от арабского «алим» — «знающий, учёный»). Такие заимствования в русской среде встречались, но обычно они оставляли след в виде фамилий на -ов (Алимов), а не на -ин. Форма Алимкин с суффиксом -ин как раз характерна для русских «полуимен» — обиходных вариантов крестильных имён. Поэтому версия с Алипием органичнее для русского словообразования.

Обратите внимание на редкость фамилии. Она не получила массового распространения и встречается в основном в центральных и южных областях России. В дореволюционных переписях и ревизских сказках носители фамилии Алимкины фиксировались среди крестьян и мещан. Предки были простыми людьми, чью фамилию записали по отцу или деду, которого в быту звали Алимкой. Если ищете корни фамилии Алимкина, скорее всего, ваш предок по мужской линии носил обиходное имя Алим, восходящее к церковному Алипий. Это имя давали при крещении, а в быту оно сократилось и закрепилось в фамилии.