Фамилия Алимкина — женская форма, а её мужской вариант — Алимкин. В основе лежит имя или прозвище, и здесь есть два объяснения, причём одно заметно убедительнее другого.

Основная версия: фамилия образована от православного крестильного имени Алим. Это просторечная, народная форма канонического имени Алипий (в церковной традиции — Алипий, от греческого «беспечальный»). В русском языке такие сокращения и переделки имён были обычным делом: Алипий превращался в Алима, а тот, в свою очередь, давал начало фамилии с типичным русским суффиксом принадлежности -ин. Алимкин, таким образом, означает «сын Алима» или «из семьи Алима». Суффикс -ин указывает на происхождение от существительных, оканчивающихся на -а/-я, что как раз и соответствует имени Алима.

Вторая, менее вероятная версия выводит фамилию от тюркского имени Алим (от арабского «алим» — «знающий, учёный»). В принципе, такие заимствования в русской среде встречались, но обычно они оставляли след в виде фамилий на -ов (Алимов), а не на -ин. Форма Алимкин с суффиксом -ин как раз характерна для русских «полуимен» — уменьшительно-ласкательных или обиходных вариантов крестильных имён. Поэтому версия с Алипием выглядит более органичной для русского словообразования.

Географически фамилия редкая. Встречается она в основном в центральных и южных областях России, но массового распространения не получила. В дореволюционных переписях и ревизских сказках носители фамилии Алимкины фиксировались среди крестьян и мещан — то есть предки были простыми людьми, чью фамилию «записали» по отцу или деду, которого в быту звали Алимкой.

Таким образом, если вы ищете корни фамилии Алимкина, скорее всего, ваш предок по мужской линии носил обиходное имя Алим, восходящее к церковному Алипий. Это имя когда-то давали при крещении, а в быту оно сократилось и закрепилось в фамилии.