Фамилия Амброзиева — женская форма от Амброзиев, а та, в свою очередь, — притяжательное прилагательное, образованное от имени Амброзий. Основа здесь — греческое Ἀμβρόσιος (Амбросиос), что переводится как «бессмертный, принадлежащий богам». В древнегреческой мифологии амброзия — пища богов, дарующая вечную жизнь. Так что носитель этой фамилии в далёком прошлом — потомок человека, которого нарекли «божественным» или «нетленным».

Имя Амброзий (в русской традиции — чаще Амвросий) было распространено в среде православного духовенства. Самый известный носитель — святитель Амвросий Медиоланский, но на Руси имя давали в честь святых и при постриге в монахи. Поэтому фамилия Амброзиев (и её женский вариант) нередко указывает на церковное происхождение: предок мог быть сыном или прихожанином священника по имени Амвросий, либо сам носил это монашеское имя, которое затем закрепилось за его детьми как фамилия.

Суффикс -ев (вместо более частого -ов) указывает на мягкую основу: от Амброзий → Амброзиев. Такая модель типична для фамилий, образованных от имён на -ий (например, Арсеньев, Григорьев). Поскольку имя Амброзий встречалось реже, чем, скажем, Иван или Пётр, фамилия остаётся относительно редкой. Встречается она преимущественно в южнорусских и украинских регионах, где греческое влияние через церковь было сильнее, а также среди потомков духовенства.

В написании возможны варианты: через «о» (Амбросиев) или через «а» (Амброзиев), что связано с разной передачей греческой буквы ο (омикрон) в церковнославянской традиции. Но форма с «а» (Амброзиева) ближе к исходному греческому произношению. Если вы носите эту фамилию, ваши предки почти наверняка имели отношение к церковной среде — либо как священнослужители, либо как люди, получившие имя в честь святого, чей культ был особенно чтим в их местности.