Фамилия Амриев — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение почти наверняка связано с мусульманским именем Амри, которое восходит к арабскому корню «амр» — «дело», «повеление», «приказ». В тюркских и кавказских языках это имя получило распространение как Амри, Амир, Эмир. Соответственно, Амриев — это патроним: «сын Амри». Модель образования типична для фамилий народов Северного Кавказа и Поволжья, где русский суффикс -ев присоединялся к национальным именам при оформлении документов в XIX–XX веках.

Интересно, что фамилия не имеет никакого отношения к русскому слову «амбар» или «амбра», как иногда ошибочно предполагают. Основа здесь чисто арабская, и в исламской традиции имя Амри может трактоваться как «живущий по велению Аллаха» или просто «повелитель». Встречается фамилия преимущественно у чеченцев, ингушей, кумыков и татар. В русских метрических книгах она почти не фиксируется — это верный признак позднего появления в официальном обороте, когда представители горских народов получали паспорта и записывались по отцу.

С точки зрения словообразования, фамилия прозрачна: корень Амр- и суффикс -ев. Ударение, скорее всего, падает на первый слог: А́мриев, хотя в разговорной речи нередко слышится Амри́ев — под влиянием фамилий с ударным суффиксом. Сравните с однокоренными фамилиями Амиров, Эмиров — они гораздо чаще встречаются, а Амриев остаётся в тени, что делает её особенно характерной для определённого рода или тейпа. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с высокой вероятностью предположить, что родоначальник был уважаемым человеком в своей общине, имя которого закрепилось за потомками.