Фамилия Анапьянова — одна из тех, где не сразу разберешь, от какого корня она пошла. Основа здесь неочевидна, и это как раз тот случай, когда стоит начать с географии и возможного тюркского следа. Скорее всего, фамилия связана с названием города Анапа на черноморском побережье. В таком случае Анапьянов — это человек, выходец из Анапы или имеющий к ней отношение. Суффикс -ьян- в русских фамилиях встречается редко, но он характерен для южнорусских и казачьих говоров, где мог оформлять прозвища по месту жительства (сравните: «анапьянин» — житель Анапы). Притяжательный суффикс -ов/-ева добавляет значение «сын того, кто из Анапы», то есть «Анапьянов» — буквально «сын анапца».

Есть и другая версия, менее очевидная, но тоже возможная. В тюркских языках существует слово «анап» или «анаба» со значением «материнский», «родной по матери». В этом случае прозвище Анапьян могло даваться человеку, который жил с матерью, остался после смерти отца на ее попечении или был особенно привязан к ней. Однако эта версия менее вероятна, потому что суффикс -ьян- в тюркских заимствованиях в русском языке встречается редко, а вот топонимическое объяснение — самое прямое и простое.

С точки зрения словообразования, фамилия стоит немного особняком. В русской ономастике преобладают фамилии на -ов/-ев, -ин, -ский. Анапьянова использует редкую модель: топоним + -ьян- + -ов. Такая конструкция могла сложиться в среде донских или кубанских казаков, где было много переселенцев и где прозвища по месту прежнего жительства давали часто. Если предок носителя фамилии перебрался в станицу из Анапы или ее окрестностей, его могли прозвать Анапьяном, а его детей — Анапьяновыми.

Фамилия женская, но по происхождению — отчество от мужской формы Анапьянов. В документах XIX века такая фамилия могла фиксироваться по-разному: Анапьянов, Анапянов, Анапьянин. Написание через «ья» закрепилось, вероятно, под влиянием народного произношения, где звук [й] смягчал согласный. Никакого отношения к греческому или армянскому языку фамилия, скорее всего, не имеет, несмотря на созвучие с окончанием -ян.