Фамилия Анчиковы образована от имени собственного и относится к распространённому типу русских фамилий. Её основа — мирское имя Анчик, которое, вероятнее всего, является просторечной формой крестильного имени Антон. В переводе с греческого Антон означает «вступающий в бой». Такие сокращённые и ласкательные имена (Анчик, Антоша, Тоша) были обычным явлением в русской среде: полное имя использовали в официальных документах, а в быту человека звали по-домашнему. Именно от этого бытового имени и образовалась фамилия с помощью типичного русского суффикса принадлежности -ов, который буквально отвечает на вопрос «чей?» и означает «сын Анчика» или «потомок Анчика».

Существует и другая, менее правдоподобная версия, связывающая основу фамилии с прозвищем Анчута — «чертёнок» или «бесёнок». Однако эта гипотеза слабее: прозвище Анчута фиксируется в русских говорах, но оно скорее вторично и само могло возникнуть как шутливое производное от того же имени Антон. Кроме того, фамилии на -ов от прозвищ с суффиксом -ут(а) встречаются реже, чем от имён с уменьшительным -чик.

О точном месте и времени возникновения фамилии Анчиков говорить сложно: процесс формирования русских фамилий длился несколько столетий, и такие патронимические фамилии могли появиться независимо в разных регионах. Тем не менее, фамилия Анчиков — это не просто семейное имя, а замечательный памятник славянской письменности и культуры, сохранивший в себе живую разговорную форму древнерусского имени.