Фамилия Анчикина — женская форма, а мужская, Анчикин, образована по самой распространённой в русской ономастике модели: от личного имени или прозвища с помощью патронимического суффикса -ин. Этот суффикс указывал на принадлежность: «чей?» — сын Анчики. Основа фамилии — имя Анчика, которое в русских говорах было уменьшительно-ласкательной формой от нескольких крестильных имён.

Чаще всего Анчика — производное от канонического имени Антон (в просторечии Антон → Антя → Анча → Анчик) или от Анфим (разговорное Анфим → Анфа → Анча). В обоих случаях суффикс -ик- придаёт имени оттенок ласки или уменьшительности, как в парах Ваня — Ванечка, Толя — Толик. Менее вероятна, но возможна связь с именем Аника (от греческого «никэ» — победа), которое в быту тоже могло превращаться в Анчику. Спорных версий тут нет: все они сводятся к одному словообразовательному гнезду, где основа начинается на Ан-.

Географически фамилия Анчикин (и Анчикина) тяготеет к центральным и северным областям России. В переписях и ревизских сказках XIX века она фиксируется в Вятской, Костромской и Вологодской губерниях — регионах, где были сильны традиции уменьшительных имён на -ик. В этих краях Анчикой могли звать не только в семье, но и в общине, и прозвище легко переходило в фамилию при оформлении паспортов после отмены крепостного права.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто давали по отцу (Иван — Иванов), фамилии на -ин в северных говорах могли образовываться и от прозвищ матери, если женщина была главой двора или её имя было более известно. Однако в случае Анчикина это маловероятно — суффикс -ик указывает именно на мужское имя. Носитель фамилии Анчикин, скорее всего, потомок человека, которого в кругу близких звали ласково Анчика — будь то Антон, Анфим или, реже, Аника.