Фамилия Анчикин образована по самой распространённой в русском языке модели: к основе добавлялся суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей сын?»). Значит, в основе лежит личное имя или прозвище Анчика, Анчик. Вопрос в том, что это за имя.

Самая вероятная версия — это производная форма от крестильного имени Антон (через уменьшительное Анча, Анчик). В русских говорах было характерно смягчение и чередование согласных: Антон — Антя — Анча — Анчик. Такая цепочка типична для диалектной народной речи, где «к» часто появлялось в уменьшительно-ласкательных вариантах (ср. Ваня — Ванька — Ванчик). Менее вероятно, но возможно происхождение от имени Андрей (Андрей — Андрюша — Анча — Анчик). В любом случае, перед нами «сын Анчика», то есть человека, которого в домашнем кругу звали Анчиком.

Вторая версия, которую приводят некоторые исследователи, — связь с тюркским словом «анчык» (охотник, ловчий). Однако для фамилии, бытующей в центральных русских областях (например, в Тамбовской и Рязанской губерниях), это объяснение выглядит натянутым. Тюркские заимствования чаще встречаются в южных казачьих фамилиях, а Анчикины — фамилия преимущественно крестьянская, оседлая, с явным славянским суффиксом.

Обратите внимание на редкую особенность написания. Встречается вариант Анчикин (с «и» после «ч»), а не более привычный Анчиков. Это указывает на то, что основа не была переосмыслена как притяжательное прилагательное с суффиксом -ов. Фамилия сохранила живую форму отчества от имени на -а: Анчика — Анчикин. Такое написание — дополнительный аргумент в пользу происхождения от личного имени, а не от прозвища, которое могло бы звучать как Анчик и дать фамилию Анчиков.

Таким образом, предки современных Анчикиных, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, а сама фамилия восходит к домашнему имени родоначальника, которого звали Анчик (от Антон или Андрей).