Фамилия Анчиков — типичный пример русской фамилии, образованной от просторечной, «домашней» формы крестильного имени. В её основе лежит имя Анчик — уменьшительно-ласкательный вариант канонического имени Антон. Само имя Антон восходит к греческому слову, означающему «вступающий в бой». По этой модели в России появились десятки фамилий: Антонов — самый распространённый вариант, а Анчиков, Анчуткин, Антошкин — его более редкие «родственники».

Модель образования проста и прозрачна: к основе Анчик добавили типичный русский суффикс принадлежности -ов. В результате Анчиков буквально означает «сын Анчика» или «потомок Анчика». Такая форма типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ов преобладали с XV–XVI веков.

Существует и другая версия происхождения, но её стоит рассматривать как менее вероятную. Согласно ей, фамилия могла возникнуть от прозвища Анчута — в народной традиции так называли чертёнка, бесёнка. Однако в пользу «антоновского» происхождения говорит массовость имени Антон и его производных: Анчик — естественное и широко употребительное сокращение, в то время как прозвище Анчута носило бы более редкий и специфический характер.

Таким образом, предок носителя фамилии Анчиков с высокой долей вероятности звался Антоном, а в быту — Анчиком. Это был обычный человек, имя которого закрепилось за его потомками в форме отчества, ставшего фамилией.