Фамилия Андреевских образована от крестильного мужского имени Андрей, которое в переводе с древнегреческого означает «мужественный». Это одна из моделей, типичных для русского Севера, Приуралья и Сибири: суффикс -их/-ых указывает на принадлежность всему дому или роду. В старину, если главу семьи звали Андрей, то про домочадцев говорили: «чьи будете?» — «Андреевских», то есть из семьи Андрея. Со временем эта форма застыла в фамилию и перестала склоняться.

Интересно, что фамилия Андреевских — не единственная в своём гнезде. Рядом стоят Андреев, Андреевский, Андреищев, Андрейчук и другие, но модель на -их/-ых встречается реже и географически локализована. В центральных губерниях России такие фамилии почти не встречались, зато в вятских, пермских и архангельских землях они были обычны. Это значит, что предки носителей фамилии Андреевских с высокой вероятностью жили на Русском Севере или в Приуралье, возможно, были государственными или монастырскими крестьянами, а не помещичьими — там фамилии на -их/-ых распространялись шире.

Само имя Андрей, лёгшее в основу, веками оставалось одним из самых популярных на Руси. Поэтому фамилия Андреевских не редкая, но её суффикс делает её заметной: она сразу выдаёт северное или уральское происхождение рода. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в документах Вятской, Пермской или Архангельской губерний — там такие фамилии фиксировались уже в XVII–XVIII веках.