Фамилия Анимуков — редкий случай, когда тюркское происхождение основы почти не вызывает споров. Отбросьте суффикс -ов (он отвечает на вопрос «чей?» — сын Анимука), и останется корень «Анимук». В русских говорах такого слова нет, зато в тюркских языках известно имя Анимухаммад или Анимулла. Первая часть «ани» — это вариант «аны» (он, тот самый), вторая — имя пророка или «рабу Аллаха». В быту длинное имя сокращали до Анимук — так же, как в русских деревнях Ивана звали Ванькой, а Михаила — Михой.

Модель образования типична для XVI–XVII веков, когда русские осваивали Поволжье и Приуралье. Крещёные инородцы — татары, башкиры, чуваши, мордва — получали фамилии по отцу: Анимуков буквально означает «сын Анимука». Суффикс -ов, а не -ин, тоже не случаен: фамилии на -ин чаще давали от основ на -а/-я, а здесь твёрдый согласный на конце.

Географически фамилия привязана к Уралу и Зауралью. По переписям XIX века Анимуковы встречались в Оренбургской и Пермской губерниях, среди казаков и государственных крестьян. Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью был не великороссом из центральных губерний, а потомком крещёного татарина или башкира, перешедшего в православие. Прозвище Анимук могло закрепиться и за русским, жившим в татарской среде, но это реже.

Вторая версия — от греческого имени Анимус через церковные святцы — маловероятна. Греческая форма в народной среде обычно давала Анисим или Анисимов, а не Анимук. Так что тюркский след остаётся основным. Фамилия недворянская, нестарая, без громких носителей в истории, но именно такие фамилии лучше всего рассказывают, как смешивались народы на восточных рубежах России.