Фамилия Анимуков — редкий случай, когда основа, скорее всего, не славянская, а тюркская, и спорить об этом почти не приходится. Если отбросить суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Анимука), остаётся корень «Анимук». В русских говорах такого слова нет, зато в тюркских языках распространено имя Анимухаммад или Анимулла, где «ани» — вариант «аны» (он, тот самый), а вторая часть — имя пророка или «рабу Аллаха». В обиходе длинное имя сокращали до Анимук — так, как в русских деревнях Ивана звали Ванькой, а Михаила — Михой.

Модель образования фамилии типична для XVI–XVII веков, когда русские осваивали Поволжье и Приуралье. Там, среди татар, башкир, чувашей и мордвы, крещёные инородцы получали фамилии по отцу: Анимуков — буквально «сын Анимука». Суффикс -ов, а не -ин, тоже намекает на позднее оформление: фамилии на -ин чаще давали от основ на -а/-я, а здесь твёрдый согласный на конце. В документах XVII века можно встретить похожие фамилии — Анисимов, Аничкин, но Анимуков стоит особняком.

Географически фамилия привязана к Уралу и Зауралью. По переписям XIX века Анимуковы встречались в Оренбургской, Пермской губерниях, среди казаков и государственных крестьян. Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью был не великороссом из центральных губерний, а потомком крещёного татарина или башкира, перешедшего в православие. Прозвище Анимук могло закрепиться и за русским, жившим в татарской среде, но это реже.

Вторая, менее вероятная версия — от греческого имени Анимус (через церковные святцы), но греческая форма в русской народной среде обычно давала Анисим или Анисимов, а не Анимук. Так что тюркский след остаётся основным. Фамилия недворянская, нестарая, без громких носителей в истории — но именно такие фамилии лучше всего рассказывают о том, как смешивались народы на восточных рубежах России.