Фамилия Аницкая — редкий случай, когда написание через «ц» (а не через «ч», как в более известной Аничковой) сразу подсказывает путь происхождения. Скорее всего, перед нами топонимическая фамилия: её давали человеку по названию места, откуда он родом. Если существовала деревня Аники, Аницкая или Аницк (а такие названия встречаются на северо-западе России и в бывших польско-литовских землях), то переселенец из неё получал прозвание Аницкий. Женская форма Аницкая закреплялась за дочерью или вдовой такого человека.

Корень «Аниц-» восходит к имени Аникей — народной форме канонического Иоанникий. В старых документах Аникеями называли и крестьян, и священников, так что имя было распространённым. От него пошли фамилии Аников, Аничкин, а через топоним — и Аницкий.

Суффикс «-ск-» в этой фамилии — верный признак того, что её носители в XVII–XVIII веках могли принадлежать к служилому сословию, шляхте или духовенству. Однако после отмены крепостного права в 1861 году такие фамилии нередко давали бывшим крепостным по названию их родной деревни. Поэтому Аницкая могла быть и женой обедневшего помещика, и дочерью крестьянина из села Аницкого.

В диалектах слово «аница» иногда означало упрямого или своенравного человека, но прозвища с таким значением редко превращались в фамилии на «-ский» — для этого обычно использовали суффиксы «-ов» или «-ин». Так что географическая версия остаётся основной. Фамилия редкая, и её носители, скорее всего, происходят из одного компактного региона — возможно, из бывших польско-литовских земель или северо-запада России, где топонимы на «-ицк» встречаются чаще.