Фамилия Аннаги — редкая и нестандартная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а итальянское или, в более широком смысле, средиземноморское. В русском языке фамилии с окончанием на -и, особенно если ударение падает на последний слог, часто указывают на иноязычное происхождение: вспомните фамилии Верди, Росси, Пиноккио. Аннаги, скорее всего, образована от итальянского прозвища или географического названия.

Основа фамилии — «Анна». Это библейское имя, имеющее древнееврейские корни (Ханна — «благодать», «милость»). Окончание -ги (-ghi) в итальянском языке — типичный патронимический суффикс или указание на принадлежность к роду. То есть Аннаги можно перевести как «из семьи Анны» или «потомок Анны». В Италии такие фамилии часто возникали в Средние века, когда человека называли по имени матери или бабушки, особенно если она была уважаемой вдовой или владелицей земель. Это так называемые матронимические фамилии, которые встречаются реже, чем отчества, но вполне закономерны.

Региональная привязка фамилии Аннаги — скорее всего, Северная Италия, где окончание -ghi особенно распространено (вспомните фамилии Лонги, Спадаччини). Возможно, предки носителя фамилии были родом из Тосканы или Эмилии-Романьи. В России фамилия могла появиться через итальянских архитекторов, художников или купцов, работавших при дворе в XVIII–XIX веках, либо через потомков смешанных браков.

Другой, менее вероятный вариант — что фамилия Аннаги является русифицированной формой какой-то восточной фамилии (например, тюркской или кавказской), где «анна» означает «мать», а «ги» — суффикс принадлежности. Но в этом случае написание и звучание были бы иными, и окончание -и в русской записи выглядело бы неестественно. Итальянская версия — самая прямая и лингвистически обоснованная.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были либо выходцами из итальянских земель, либо их фамилия была записана со слуха и закрепилась в редком для России виде. Искать истоки стоит в итальянских церковных книгах или архивах северных регионов Италии.