Фамилия Антюшко звучит компактно и по-южнорусски: типичный украинский или белорусский суффикс -ко указывает на уменьшительно-ласкательную форму. В основе лежит имя Антюша — просторечный вариант от Антон. Получается, что Антюшко — это «маленький Антон» или, скорее, сын Антона, причём в той языковой среде, где отчества и прозвища охотно превращали в фамилии через суффикс -ко.

Корень фамилии — имя Антон, которое восходит к римскому родовому имени Antonius. В христианской традиции это имя закрепилось благодаря святым Антонию Великому и Антонию Печерскому, поэтому на Руси оно было широко распространено среди всех сословий. От него пошли десятки фамилий: Антонов, Антошин, Антонцев, Антонюк, Антоненко, Антончик. Антюшко стоит в том же ряду, но с более редкой суффиксальной моделью.

Интересна география. Фамилия Антюшко встречается в основном на западе Украины и в южных областях Беларуси — там, где продуктивен суффикс -ко в роли фамильного показателя. В России она редка и обычно привязана к переселенцам из этих регионов. Если ваши предки носили такую фамилию, они почти наверняка были из крестьянской или казацкой среды: в XIX веке фамилии на -ко чаще всего фиксировали у простого люда, а не у дворян.

Ономастический словарь Бориса Унбегауна относит фамилии типа Антюшко к «украинским уменьшительным», образованным от личных имён. Споров вокруг этимологии нет: все версии сходятся на имени Антон. Альтернативные объяснения (например, от диалектного «антюшка» — якобы так называли ленивого человека) — это народная этимология, не подкреплённая источниками. Правдоподобнее и проще: Антюшко — это «Антонов сын» в южнорусском звучании.