Фамилия Анышкова — женская форма фамилии Анышков. Её основа, скорее всего, не церковное имя, а прозвище или уменьшительная форма от крестильного имени Аникей (каноническая форма Иоанникий). В народной речи это имя часто сокращали до Аня, Анька, Аныш. Суффикс -ыш- в русских прозвищах и фамилиях встречается нечасто, но он характерен для ласкательно-уменьшительных форм: Малыш, Голыш, Крепыш. Аныш — это «маленький Аня» или «Аникейчик».

Версия, связывающая фамилию с тюркским словом «аныш» (память, воспоминание), маловероятна для русского ономастикона. Фамилии с таким корнем обычно имеют более прозрачную славянскую этимологию. Географически фамилия Анышков (и Анышкова) тяготеет к северным и центральным областям России, где имя Аникей было особенно популярно в XVI–XVII веках.

Модель образования проста: к основе Аныш- добавился типичный русский суффикс принадлежности -ов-, означающий «сын Аныша» или «из семьи Аныша». Первый носитель фамилии Анышков был, скорее всего, сыном или потомком человека по прозвищу Аныш. В крестьянской среде такие фамилии часто закреплялись за целыми семьями, жившими в одной деревне. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть выходцами из крестьянского сословия, а их родоначальник был известен в округе под ласковым именем Аныш — производным от Аникея.