Фамилия Анишков — редкий случай, где за привычным окончанием -ов скрывается неочевидная основа, искажённая живой речью. Самая вероятная версия: перед нами фонетический вариант фамилии Аничков. В русских говорах, особенно северных и среднерусских, звук «ч» часто заменялся на «ш» — явление, которое лингвисты называют «шоканьем». Писарь, записывая крестьянина на слух, мог без всякого умысла превратить Аничкова в Анишкова. Исходное имя здесь — Аника, просторечная форма от Иоанникий (греч. «победа») или от Аникита («непобедимый»). В народе это имя закрепилось за героем сказки об Анике-воине — хвастуне, которого победила смерть.

Менее вероятно, что основа Анишк- восходит к прозвищу Анишка (уничижительная форма от Анисий, греч. «исполнение») или к ласкательному варианту имени Анна. В этом случае фамилия по правилам должна была получить суффикс -ин (Анишкин). Появление -ов вместо -ин возможно при переосмыслении основы, но это исключение, а не правило. География фамилии — центральная Россия и Поволжье, те самые регионы, где диалектное смешение «ч» и «ш» было в порядке вещей. В XIX веке носители фамилии — крестьяне и мещане, к дворянскому роду Аничковых они отношения не имели, хотя корень у фамилий общий.

Иными словами, ваши предки, скорее всего, были Аничковыми, которых местный писарь записал на слух. Имя Аника к тому времени уже считалось простонародным и вышло из обихода, оставшись лишь в сказках и фамилиях.