Фамилия Апечкина — женская форма, поэтому разбирать её стоит через мужской вариант Апечкин. На первый взгляд кажется, что основа — «апечка», но в русских говорах такого слова не зафиксировано. Ключ к разгадке — в диалектном произношении. В акающих говорах, где «о» произносят как «а» (Тверская, Московская, Рязанская губернии), слово «опечка» превращалось в «апечка». Именно от него и пошла фамилия.

«Опечкой» в северных и центральных областях называли основание русской печи, приступок у печи или место, где пекли хлеб. Отсюда прозвище Опечка могли дать печнику, мастеру, который кладёт печи, или хлебопёку, постоянно возящемуся у печи. Возможна и ироническая кличка для низкорослого и плотного человека — «как опечка». Суффикс -ин указывает на принадлежность: Апечкин — это «сын Опечки» или «потомок Опечки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ с уменьшительным суффиксом -к(а).

Вариант с «а» в начале — не ошибка, а живое народное произношение, которое закрепилось в документах. Однокоренные фамилии — Опечкин, Печкин (от «печка») и Печников — все они из одного гнезда, связанного с печным делом. Фамилия редкая, встречается в основном там, где аканье было нормой. Фамилия не дворянская, не книжная — она из народной среды, где прозвище давали по делу или по примете, а потом оно переходило в фамилию. Так что предки носительницы фамилии Апечкина с большой вероятностью были печниками или хлебопёками, либо получили прозвище по внешности.