Фамилия Апечкина — женская форма фамилии Апечкин, и разбирать её стоит через мужской вариант. На первый взгляд кажется, что основа — «апечка», но в русских говорах такого слова не зафиксировано. Вероятнее всего, корень здесь — «опека» или «опечка», но с изменённым начальным гласным под влиянием акающих говоров (там, где «о» произносят как «а»). Если так, то Апечкин — это «сын Опечки» или «человек, связанный с Опечкой».

Что такое «опечка»? В диалектах русского языка (северные и центральные области) опечкой называли основание русской печи, приступок у печи, а иногда и само место, где пекли хлеб. Отсюда прозвище Опечка могли дать печнику, человеку, который кладёт печи, или тому, кто постоянно возится у печи (например, хлебопёку). Могла быть и ироническая кличка для низкорослого или приземистого человека — «как опечка», то есть невысокий и плотный.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Апечкин — «чей?» — сын или потомок Опечки. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ с уменьшительным суффиксом -к(а). Вариант с «а» в начале (Апечка вместо Опечка) — не ошибка, а живое народное произношение, которое закрепилось в документах. Встречаются и однокоренные фамилии: Опечкин, Печкин (от «печка»), Печников — все они из одного гнезда, связанного с печным делом.

Географически фамилия Апечкин (и Апечкина) редкая. По данным современных справочников, она встречается в основном в центральных областях России — там, где аканье было нормой: бывшая Тверская, Московская, Рязанская губернии. Встречается и у старообрядцев, но это скорее случайность, чем закономерность.

Итак, предки носительницы фамилии Апечкина с большой вероятностью были печниками или хлебопёками, либо получили прозвище по внешности. Фамилия не дворянская, не книжная — она из народной среды, где прозвище давали по делу или по примете, а потом оно переходило в фамилию.