Фамилия Апекунов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа не связана с распространёнными древнерусскими именами или профессиями, поэтому здесь приходится выбирать между несколькими версиями, и ни одна из них не лежит на поверхности.

Первое, что бросается в глаза, — суффикс «-ун-». В русских фамилиях он часто указывает на прозвище, образованное от глагола, причём с оттенком интенсивности или постоянного действия (крикун, бегун, ворчун). Следовательно, в основе Апекунов могло лежать слово «апекать» или «апекунить». Однако в литературном русском языке такого глагола нет. Зато в диалектах, особенно северных и сибирских, слово «апекать» могло означать «заботиться, опекать» (искажённое «опекать»). Тогда прозвище Апекун — тот, кто постоянно опекает, печётся о ком-то, возможно, нянька или попечитель.

Вторая версия связана с географией фамилии. Апекуновы — нечастые носители, но встречаются в основном среди старообрядческих семей Урала и Сибири. В старообрядческой среде бытовали искажённые формы церковных имён. Не исключено, что Апекун — это народная переделка крестильного имени Аникий (Аника) или Евтихий. В говорах «Апекун» могло звучать как вариант «Опекун», а уже от него образовалась фамилия. Подтверждением служит тот факт, что в документах XVIII–XIX веков встречается фамилия Опекунов, а Апекунов могла быть её диалектным или орфографическим вариантом (аканье на письме).

Третья, более экзотическая гипотеза — тюркское происхождение. В языках Поволжья и Приуралья есть слово «апек» (или «апак») со значением «белый, чистый». Если учесть, что русские фамилии на «-унов» могли возникать при контакте с тюркским населением (ср. Бекчурин, Абдулов), то Апекунов могло означать «сын белого» или «сын старшего» (от «апа» — старший родственник). Но эта версия слабее: в русской антропонимике тюркские основы обычно дают фамилии на «-ов» без промежуточного суффикса «-ун».

Что важно: фамилия Апекунов не дворянская и не княжеская. Её носители — скорее всего, крестьяне или посадские люди, получившие прозвище по характерному поведению или по искажённому имени. Наиболее правдоподобной выглядит версия с диалектным глаголом «апекать» (опекать) — она объясняет и суффикс, и семантику, и региональную привязку. Тот, кого в деревне прозвали Апекуном, вероятно, был человеком заботливым или, наоборот, назойливо опекающим — в зависимости от интонации прозвища.