Фамилия Апекунов — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Первое, что замечаешь, — суффикс «-ун-». В русских фамилиях он часто указывает на прозвище от глагола с оттенком постоянного или интенсивного действия: крикун, бегун, ворчун. Значит, в основе могло лежать слово «апекать» или «апекунить». В литературном русском языке такого глагола нет, но в северных и сибирских диалектах «апекать» — искажённое «опекать», то есть заботиться. Прозвище Апекун могли дать тому, кто постоянно опекал, пёкся о ком-то — возможно, няньке или попечителю.

Вторая версия — географическая. Апекуновы встречаются в основном среди старообрядческих семей Урала и Сибири. В старообрядческой среде церковные имена часто искажали. Апекун мог быть народной переделкой имени Аникий (Аника) или Евтихий. В говорах «Апекун» звучало как вариант «Опекун», а от него уже пошла фамилия. В документах XVIII–XIX веков встречается фамилия Опекунов, так что Апекунов могла быть её диалектным или орфографическим вариантом — аканье на письме давало такой сдвиг.

Третья гипотеза — тюркская. В языках Поволжья и Приуралья есть слово «апек» или «апак» — «белый, чистый». Если учесть, что русские фамилии на «-унов» возникали при контакте с тюрками (ср. Бекчурин, Абдулов), Апекунов могло означать «сын белого» или «сын старшего» (от «апа» — старший родственник). Но эта версия слабее: тюркские основы обычно дают фамилии на «-ов» без промежуточного суффикса «-ун».

Фамилия не дворянская и не княжеская. Её носители — скорее крестьяне или посадские люди, получившие прозвище по характерному поведению или по искажённому имени. Наиболее правдоподобна версия с диалектным глаголом «апекать» — она объясняет и суффикс, и семантику, и региональную привязку. Тот, кого в деревне прозвали Апекуном, мог быть человеком заботливым или, наоборот, назойливо опекающим — в зависимости от интонации прозвища.