Фамилия Аргунеева — женская форма от Аргунеев, и её основа, скорее всего, восходит к редкому тюркскому или монгольскому имени либо прозвищу. Звучит она непривычно для русского уха, и здесь географическая привязка оказывается важнее морфологии.

Самый вероятный корень — «аргун». В тюркских языках «аргын» или «аргун» означает «быстрый», «резвый», а также было названием одного из крупных казахских племён — Аргын. В монгольском «аргуун» переводится как «благородный», «чистый». Так что прозвище Аргун могли дать человеку проворному или знатного рода. Менее вероятна, но допустима связь с гидронимом Аргун — рекой на Северном Кавказе: прозвище могли получить выходцы с тех мест.

Модель образования простая: к основе «Аргун» добавили русский фамильный суффикс -еев (фонетический вариант -ев после мягкого или шипящего звука). Окончание -а указывает на женскую форму. Суффикс -еев, а не -ов, подсказывает, что основа оканчивалась на мягкий согласный или «й»: Аргуней, Аргунь. В документах XVII–XVIII веков нередко встречались люди с именем Аргуней (уменьшительное от Аргун), от которого и образовалась фамилия.

По сословной принадлежности сказать наверняка сложно, но фамилии на -еев с тюркскими корнями чаще встречались среди служилых людей (казаков, детей боярских) и купечества, а не крестьян. Встречаемость фамилии крайне низкая, что типично для прозвищ, не ставших массовыми. Если ваши предки — Аргунеевы, стоит искать их корни в Поволжье, на Урале или в Сибири, где исторически смешивались русские и тюркские народы.