Фамилия Аркадакская — редкий случай, когда географическое название перешло в фамилию почти без изменений и с «женским» окончанием. В современном русском языке фамилия стоит в форме женского рода, а её мужской вариант — Аркадакский. Это сразу подсказывает основную версию происхождения: фамилию образовали от топонима Аркадак. Так называется город в Саратовской области (ранее — село, затем рабочий посёлок). Человек, получивший фамилию Аркадакский, скорее всего, был выходцем из этих мест или владел землёй в окрестностях.

Суффикс -ск- указывает на модель образования, типичную для дворянских фамилий (по названию вотчины или поместья) и для фамилий духовенства (семинарские фамилии, которые давали по названию села, откуда был родом будущий священник). Однако в случае с Аркадакской не стоит торопиться с выводами о высоком сословии: в XIX веке такую фамилию могли дать и крестьянину, переселившемуся в другой уезд, — её просто записывали по месту прежнего жительства.

Сам топоним Аркадак имеет тюркские корни. По одной из версий, он восходит к тюркскому «арка» (спина, хребет) и «даг» (гора) — то есть «гора-хребет» или «возвышенность». По другой — к имени собственному Аркадак (встречается у башкир и татар). В любом случае, основа фамилии не славянская, а принесена в русский язык через географию Поволжья.

Фамилия Аркадакская (и Аркадакский) — не массовая. Встречается в основном в Саратовской области и соседних регионах, а также среди потомков переселенцев из тех мест. Если ваши предки носили эту фамилию, почти наверняка их корни ведут в юго-западную часть Саратовской губернии, на границу лесостепи и степи, где река Аркадак впадает в Большой Аркадак — приток Хопра.

При разборе словообразовательной модели обратим внимание на редкую особенность: фамилия сохранила топоним в чистом виде, без дополнительных суффиксов притяжательности, как -ов или -ин. Это говорит о том, что её давали не по отцу или прозвищу, а по месту, что сближает её с так называемыми «географическими» фамилиями, характерными для духовенства и дворянства, но в данном случае доступными и другим сословиям. Сравните с однокоренными, но более распространёнными фамилиями вроде Аркадаков — они образованы по другой, патронимической модели, и указывают на прозвище предка, а не на его родину. Аркадакская же прямо ведёт к карте: если искать предков, стоит начинать с метрических книг Балашовского уезда Саратовской губернии, куда входил Аркадак до революции. Там, в архивах, фамилия может всплыть как у крестьян, так и у мещан, но вряд ли у дворян — для них типичнее были бы варианты с приставкой или окончанием на -ово.