Фамилия Архангльский — один из тех случаев, когда ошибка в написании закрепилась в документе и стала вариантом нормы. Если вы встретили именно такое написание, скорее всего, перед вами искажение фамилии Архангельский. В русской ономастике суффикс -ск- почти всегда указывает на географическое происхождение или принадлежность к местности. Основа здесь — «Архангел», то есть название города Архангельск или монастыря, посвященного архангелу Михаилу. Выходит, что носитель фамилии — выходец из Архангельска или его окрестностей, либо потомок человека, приписанного к Архангельской губернии.

Пропуск буквы «е» в корне — «Архангльский» вместо «Архангельский» — классическая описка писаря. В XIX веке, при массовой паспортизации, крестьяне и мещане часто не могли проверить, как чиновник записал фамилию. Буква «е» в безударном положении редуцировалась, и на слух «Архангельский» и «Архангльский» звучали почти одинаково. Такой вариант мог закрепиться в конкретной семье или даже в целой волости, если ошибка попала в ревизские сказки.

Словообразовательная модель типична для северных фамилий. Суффикс -ск- в сочетании с топонимом на -ск (Архангельск) даёт фамилию, которая указывает не на конкретное село, а на целый регион. В отличие от фамилий вроде Иванов или Кузнецов, которые говорят о роде занятий или имени предка, Архангельский — это «географическая» фамилия. Она могла возникнуть у человека, который переехал из города на новое место и получил прозвище по месту прежнего жительства: «откуда ты?» — «из Архангельского». Потом прозвище перешло в фамилию.

Встречается и другой, более редкий вариант происхождения — не от города, а от храма. В центральной России были сёла с церквями, освящёнными во имя архангела Михаила. Такие сёла часто называли Архангельскими. Крестьянин из такого села мог получить фамилию Архангельский (или её искажённую форму) без всякой связи с северным портом. Однако для варианта «Архангльский» эта версия менее вероятна: в центральных губерниях грамотность писарей была выше, и пропуск гласной в церковном названии встречался реже.

Сравните с однокоренными фамилиями: Архангелов, Архангельцев. Первая — от имени или прозвища (прямое указание на «архангела»), вторая — от названия жителя (архангелец). Архангльский стоит особняком: это чисто топонимическая фамилия, которая в своей искажённой форме стала семейной меткой. Если ваша фамилия именно такая, с пропущенной «е», вы носите редкий документированный след того, как живой язык и канцелярская ошибка вместе создали новый вариант.