Фамилия Архангельсский — редкий случай, когда географическая основа и суффикс вступают в противоречие. Если вы встретили именно такое написание, с двумя «с» и окончанием «-ий», перед вами, скорее всего, искусственная книжная форма, а не народная.

Обычно фамилии на «-ский» от названий городов образовывались просто: Архангельск → Архангельский. Одно «с» в корне, одно в суффиксе. Двойное «сс» в фамилии Архангельсский — это либо ошибка в документах (писари XIX века любили удваивать буквы для солидности), либо намеренная архаизация. Так могли записать фамилию семинаристу или священнику, чтобы подчеркнуть происхождение из Архангельской губернии или из самого города. В духовных училищах часто давали «географические» фамилии, и их нередко оформляли с двойными согласными, подражая латинским или польским образцам.

По значению фамилия прозрачна: предок был либо уроженцем Архангельска, либо служил в Архангельском соборе, либо происходил из Архангельской губернии. Но суффикс «-сск-» вместо обычного «-ск-» выдает сознательное конструирование. В крестьянской среде такие формы почти не встречались — там преобладали простые Архангельские или Архангельских. Двойное «сс» — признак либо канцелярского произвола, либо книжного, часто духовного происхождения.

Сравните с однокоренными: Архангельский (стандартная форма), Архангельских (северная, «сибирская» форма, указывающая на принадлежность к роду). Архангельсский стоит особняком — это не вариант, а именно отдельная, более редкая запись, которая говорит не столько о месте, сколько о том, как и когда фамилию фиксировали. В современных базах данных эта форма встречается единично, чаще всего у потомков духовенства или у людей, чьи предки в XIX веке получили фамилию в семинарии.