Фамилия Арсимиков — редкая, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. В ней отчётливо выделяется суффикс -ик-, который в русских фамилиях встречается нечасто. Полная модель: корень Арсим + суффикс -ик + фамильный суффикс -ов. Фамилии на -иков (как Кузьмиков, Фомиков) образовывались от имён или прозвищ, оканчивающихся на -ик. То есть предка звали не Арсений и не Арсим, а именно Арсимик — так называли «маленького Арсима», младшего или невысокого члена семьи.

Что могло значить имя Арсим? Здесь две версии. Первая — диалектная или просторечная форма крестильного имени Арсений. В русских говорах Арсения сокращали до Арся, а затем добавляли уменьшительный суффикс -им, получая Арсим. Такая модель встречается: от имени Иван — Иваш, от него — Ивашим. Тогда Арсимик — ласковое прозвище ребёнка. Вторая версия отсылает к греческому имени Арсим, которое восходит к слову «арсимос» — «полезный», «пригодный». В святцах это имя редко, но в народной среде оно бытовало, особенно на юге.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Украине. В документах XIX века она встречается среди казаков и крестьян Екатеринославской и Херсонской губерний. На юге, где смешивались русские, украинские и греческие влияния, редкие календарные имена сохранялись дольше. Фамилия осталась локальной, и её носители, скорее всего, были выходцами из казачьей или крестьянской среды. Само прозвище Арсимик, если исходить из уменьшительного суффикса, могло закрепиться за человеком невысокого роста или младшим в роду.

В написании обращает на себя внимание ударение. В большинстве говоров оно падает на второй слог: Арси́миков. Это отличает её от похожих фамилий вроде Арсеников, где ударение может смещаться. Если же корень восходит к греческому варианту, ударение могло быть на первом слоге, но в русской традиции оно выровнялось по модели «отчество от имени с суффиксом -ик».