Фамилия Арсемиков строится по прозрачной, но не самой частой модели: основа «Арсемик» плюс патронимический суффикс -ов. Это значит, что предка носителя фамилии в быту звали Арсемиком. Но что скрывается за этим именованием — вопрос, в котором сталкиваются две версии, и одна из них заметно правдоподобнее.

Самый прямой путь — считать Арсемика народной, разговорной формой крестильного имени Арсений. В русской традиции такие имена часто укорачивали и снабжали уменьшительными суффиксами: из Арсения получались Арсеня, Арсюша, а в отдельных говорах — Арсемик. Суффикс -ик здесь работал как показатель ласкательности или просто бытовой привычности. В этом случае Арсемиков — буквально «сын Арсемика», то есть потомок человека, которого в обиходе звали уменьшительным от Арсения.

Вторая версия сложнее и ведёт в сторону прозвища. Слово «Арсемик» могли связать с арабским или тюркским корнем, означающим «чистый», «святой» или «лев» (в зависимости от диалекта). Такое прозвище теоретически мог получить человек восточного происхождения — купец или мастеровой, осевший в русских землях. Однако эта гипотеза слабее: фамилия устойчиво фиксируется в Вологодской, Костромской и Кировской областях, где тюркское влияние на бытовую ономастику было значительно ниже, чем в Поволжье или на юге.

География здесь — важный аргумент. В центральных и северных русских регионах фамилии на -ов и -ин в подавляющем большинстве образовывались от крестильных имён, а не от иноязычных прозвищ. Кроме того, сама модель на -иков (а не на стандартное -ов) встречается реже и обычно указывает, что исходное имя или прозвище заканчивалось на -ик. Сравните: Кузьмик — Кузьмиков, Степаник — Степаников. Так и здесь: Арсемик — Арсемиков.

Таким образом, фамилия Арсемиков, скорее всего, ведёт начало от человека по имени Арсений, которого в кругу семьи или соседей называли ласково Арсемиком. Версия с восточным прозвищем остаётся маловероятной из-за региональной привязки и общей логики русской антропонимии.