Фамилия Арзюкова — женская форма от Арзюков, и её разумно начать с вопроса: что стоит в основе, Арзя или Арзюк? Скорее всего, исходное прозвище или неканоническое имя Арзюк. Такие имена на -юк (ср. Батюк, Костюк, Митюк) в русской традиции часто образовывались от крестильных имён: Арзюк могло быть производным от Арсений, Артемий или, реже, от Арий. Усечение основы и добавление суффикса -юк давало ласкательную или обиходную форму, которая затем закреплялась как фамильное прозвище.

Версия с тюркским корнем тоже имеет право на существование. В тюркских языках «арзы» означает «желание, мечта», и имя Арзы (или Арзя) встречается у татар и башкир. В этом случае Арзюк — это уже русская адаптация с тем же уменьшительным суффиксам, а фамилия Арзюков — результат обрусения. Спор между славянской и тюркской гипотезой решается просто: если фамилия распространена на севере или в центре России, вероятнее первая версия; если в Поволжье или Приуралье — вторая.

Суффикс -ов в окончании указывает на принадлежность: «сын Арзюка». Это стандартная модель русских фамилий, характерная для большинства крестьянских и мещанских родов, оформившихся в XVIII–XIX веках. Сословной элиты среди Арзюковых, скорее всего, не было — фамилия не дворянская и не княжеская, а бытовая, прозвищная.

Географически фамилия редкая. В открытых данных фамилия Арзюков встречается в Удмуртии, Кировской области и Пермском крае — то есть в зоне контакта русского и финно-угорского населения. Это не противоречит ни славянской версии (Арсений → Арзя → Арзюк), ни возможному заимствованию, но склоняет к мысли, что основа могла быть местной, диалектной.

Однокоренных фамилий немного: Арзютин, Арзяев, Арзыев. Они все редкие, что подтверждает нетипичность корня. Если ваши предки Арзюковы — скорее всего, это крестьянский род из северного или вятского региона, а прозвище Арзюк дали либо по имени, либо по черте характера (от «арзы» — желание, мечтатель). Точнее сказать без генеалогического поиска по конкретной ветви сложно.