Фамилия Асьашкин — редкий случай, когда написание прямо консервирует диалектное произношение. В академических справочниках и базах данных она почти не встречается, поэтому её разбор опирается не на готовые словарные статьи, а на логику русской ономастики и живых говоров. Перед нами не опечатка и не иноязычное заимствование, а вариант фамилии Асяшкин, где на письме закрепился звук, который в безударной позиции после мягкого согласного произносили как нечто среднее между «и» и «а». В северных и вологодских говорах такая редукция — обычное дело, и буква «ь» в корне («Асьа») как раз её и фиксирует.

Основа фамилии — уменьшительное имя Ася, Аська. В русской традиции Ася — это не только самостоятельное имя, но и ласкательная форма от Анастасия (реже — от Александра или Арсения). Суффикс -к- в имени Аська типичен для разговорно-бытовой сферы XIX века. Дальше механизм простой: к прозвищу Асяшка добавили притяжательный суффикс -ин, который в русских фамилиях отвечал на вопрос «чей сын?». Получилось Асяшкин, а через диалектное произношение — Асьашкин.

По модели образования фамилия относится к патронимическому типу — самому массовому в России. Предок носителя фамилии мог быть человеком по имени Ася, Асей или с прозвищем Аська. Социальный слой, где такие фамилии закреплялись, — крестьянство и мещанство центральной и северной России. В дворянской среде фамилии на -ин тоже встречались, но для них характерны другие основы (Бородин, Пушкин), а Асьашкин звучит слишком по-домашнему для родословных книг.

Географически фамилия привязана к небольшому региону. Поиск по современным справочникам показывает единичные случаи в Пермском крае и Кировской области — как раз тех местах, где северорусские говоры сохраняли особенности произношения, объясняющие написание «Асьа». Если ваш предок носил эту фамилию, велика вероятность, что он был крестьянином из Вятской или Пермской губернии, а в основе фамилии лежит женское имя Анастасия — одно из самых популярных в русской деревне в XVII–XIX веках.