Фамилия Асими для русского слуха звучит непривычно, и это не случайно: в ней нет славянских суффиксов -ов, -ев или -ин, которые указывали бы на отчество или владение. Перед нами, скорее всего, «застывшая» форма — фамилия, которую не стали переделывать на русский лад, а записали так, как она звучала в родном языке носителя. Эта особенность сразу сужает круг поиска: предки Асими вряд ли жили в центральной России, их следы ведут к южным границам империи или на Кавказ.

Самый вероятный путь — греческий. В греческом языке фамилия Ασίμη (Asimi) восходит к слову «ασήμι» — «серебро». Такое прозвище могли дать ювелиру, торговцу серебром или человеку со светлыми, «серебристыми» волосами. В XIX — начале XX века в Российской империи, особенно в Новороссии и Причерноморье, жило много греческих переселенцев. Их фамилии часто русифицировали, меняя окончания, но основу сохраняли. Асими — один из таких случаев, где фамилия пришла почти без изменений.

Вторая версия, менее распространённая, но возможная, — арабское или тюркское происхождение. В арабском имя Асим (عاصم) означает «защитник», «хранитель». Форма «Асими» может быть патронимической (сын Асима) или указывать на принадлежность к роду. В языках Кавказа и Средней Азии окончания -и, -лы встречаются часто. Если предки носителя фамилии были выходцами из Дагестана, Азербайджана или татарских областей, версия с корнем «асим» становится основной.

С точки зрения русского словообразования фамилия стоит особняком. Отсутствие привычных суффиксов принадлежности указывает на относительно позднюю фиксацию в документах или на то, что её носители не были крепостными, а перешли в русскую среду как вольные люди — купцы, ремесленники или священники. Сословная принадлежность предков по фамилии не угадывается: Асими мог быть и сельским священником греческого прихода, и городским ремесленником.

Однокоренных русских фамилий у Асими нет. Ближайшие аналоги — Асимов, Асимович — встречаются в среде татар и горских евреев, но они образованы по другой модели, с русским суффиксом. Асими же — это «застывшая» форма исходного прозвища или имени, которую не переделали. Именно эта особенность и делает её ключом к поиску: география предков, скорее всего, лежит за пределами центральной России — в Крыму, на Кубани или в Закавказье.