Фамилия Асманская — это женская форма фамилии Асманский, и её происхождение напрямую связано с географическим названием. Такие фамилии на -ский/-цкий в русской традиции чаще всего указывают на дворянское или шляхетское происхождение, либо на то, что предок был выходцем из конкретного села или местечка. В основе лежит топоним Асманы, Асмань или похожее название. Такие пункты реально существуют: например, деревня Асманы есть в Витебской области Беларуси, а село Асмань — в Сумской области Украины. В этом случае фамилия отвечала на вопрос «откуда?» — человек из Асман, Асмани.

Менее вероятная, но не исключённая версия — происхождение от личного прозвища или имени. Встречается тюркское имя Асман (в значении «небо»), но для русской фамилии это редкий случай, так как суффикс -ский нетипичен для прозвищных фамилий из тюркского корня. Если бы основа была прозвищем, скорее появилась бы форма Асманов или Асманин.

Суффикс -ск- в фамилии Асманская характерен для польской и западнорусской традиции, особенно для мелкой шляхты и духовенства. В XVIII–XIX веках такие фамилии часто закреплялись за семьями, переселившимися из одной местности в другую, чтобы подчеркнуть их «родовое гнездо». Поэтому носительница фамилии Асманская с высокой вероятностью имеет корни в белорусском или украинском Полесье, а её предки могли быть крестьянами, мещанами или однодворцами, получившими фамилию по месту жительства.

Дополнительная деталь: в польском языке фамилия могла звучать как Asmańska, что указывает на возможное католическое или униатское вероисповедание предков. В русских документах XIX века написание могло колебаться — Асманская, Асманская, реже Османская (с ошибочной заменой гласной под влиянием тюркского «Осман»). Но это именно искажение, а не вариант происхождения.