Прозвище Асосок, вероятнее всего, восходит к диалектному слову «ососок», так в старину называли одиноких, беззащитных людей, сирот. Согласно этому, можно предположить, что основатель рода Асосковых лишился родителей в раннем возрасте либо был слабым, тихим ребенком. Известно, что в переносном смысле прозвище Ососок давали бывалому человеку, который много пережил в жизни. В этом случае, прозвище Асосок могли дать мастеру своего дела или лихому, смелому человеку. Веселовского упоминается однокоренное прозвище: Ососко Иван, крестьянин, 1495 г., Новгород. Менее вероятно, что фамилия Асосков образована от названия латышского Асотского замка (замок Асоте). Название замка переводится как «крепость». Тогда основатель рода Асосковых мог быть выходцем из местности, где был расположен замок. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Асосок, со временем получил фамилию Асосков.