Фамилия Асосков ведет начало от прозвища Асосок. В его основе лежит диалектное слово «ососок» — так в старину называли одиноких, беззащитных людей, сирот. Если следовать этой версии, основатель рода Асосковых мог лишиться родителей в раннем возрасте или быть слабым, тихим ребенком. Однако у того же прозвища был и противоположный смысл: в переносном значении Ососок — бывалый человек, много переживший на своем веку. Такое прозвище могли дать мастеру своего дела или лихому, смелому человеку. В словаре С. Б. Веселовского упоминается однокоренное прозвище: Ососко Иван, крестьянин, 1495 год, Новгород.

Менее вероятна версия, связывающая фамилию с названием латышского Асотского замка (замок Асоте). Название замка переводится как «крепость». В этом случае основатель рода Асосковых мог быть выходцем из местности, где располагался замок. Но эта гипотеза уступает первой и по географической привязке, и по частотности модели: для русских фамилий гораздо характернее образование от прозвища, чем от балтийского топонима.

Сама словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — сын Асоска). Таким образом, потомок человека по прозвищу Асосок со временем получил фамилию Асосков. Если принять первую, более правдоподобную версию, фамилия рассказывает о предке, который либо рос сиротой, либо, напротив, был человеком с богатым жизненным опытом и твердым характером.