Фамилия Асоско — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, стоит в первую очередь посмотреть на окончание. Суффикс -ко — характерная примета украинской или белорусской ономастики, особенно распространённая на западе и в центральных регионах Украины. Такие фамилии (типа Грицко, Павлюк, Авраменко) часто образовывались от имён или прозвищ и указывали на потомка: «сын такого-то».

Основа Асо- почти наверняка восходит к личному имени Осип — народной форме церковного имени Иосиф (в переводе с древнееврейского — «Бог приумножит»). В украинском говоре имя Осип могло звучать как Асíп или Осíп, отсюда и форма Ас в корне. То есть Асоско — это, скорее всего, «сын Осипа» или «потомок Осипа». Модель образования прямая: основа Ас(о) + уменьшительно-патронимический суффикс -ко.

Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит прозвище, связанное с диалектным словом. В некоторых южнорусских и украинских говорах «ас» или «асок» могло означать «осина» или «осиновый» (ср. укр. осика). Тогда фамилия указывала бы на место жительства («у осиновой рощи») или на прозвище по характеру («гибкий, как осина»). Но эта версия слабее: при таком значении форма была бы Осико или Осипенко, а не Асоско.

Фамилия недворянская, не попала в родословные книги Российской империи. Её носители — скорее всего, крестьяне или казаки из регионов современной Западной Украины (Волынь, Подолье) или юга Беларуси. Встречается она крайне редко, даже в украинских метриках XIX века нечастотна. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, вероятно, жили в небольшом селе, где имя Осип было распространено, и их прозвали по отцу — «Осипов сын», а со временем это прозвище закрепилось как фамильное.