Фамилия Асосковы — одна из тех, где за привычным звучанием скрывается неочевидный корень. Её основа — прозвище Асосок, которое в исходной форме, скорее всего, звучало как Ососок. Дело тут в аканье: в безударной позиции «о» перешло в «а», и на письме закрепился вариант «Асосок». Это типичная история для многих русских фамилий, записанных по слуху.

Что означало прозвище? Диалектное слово «ососок» в старину имело два полюса значений. Первое — прямой и горький смысл: одинокий, беззащитный человек, сирота. Так могли назвать ребёнка, рано потерявшего родителей, или слабого, тихого мальчика. Второе значение — переносное, почти противоположное: бывалый человек, много переживший на своём веку. В этом ключе прозвище Ососок могло достаться мастеру, прошедшему огонь и воду, или даже лихому, смелому человеку. Оба варианта имеют право на жизнь, и без конкретных сведений о первом носителе выбрать между ними сложно.

В исторических источниках встречается однокоренное прозвище. С. Б. Веселовский в своих трудах упоминает Ососка Ивана, крестьянина, зафиксированного в Новгороде в 1495 году. Эта запись — прямое свидетельство, что прозвище бытовало на русском Северо-Западе ещё в XV веке. Форма «Ососко» с ударным вторым «о» лишний раз подтверждает, что исходным был именно корень с «о», который позже в безударной позиции превратился в «а».

Есть и менее вероятная, но любопытная версия, связывающая фамилию с географией. Она возводит Асосковых к названию латышского замка Асоте (Асотский замок). Название переводится как «крепость». По этой гипотезе, основатель рода мог быть выходцем из тех мест. Однако эта версия уступает первой по убедительности: слишком мало прямых связей между латышским топонимом и русской фамилией, образованной по модели «прозвище + -ов». Фамилии на -ов/-ев в подавляющем большинстве случаев происходят от личных имён и прозвищ, а не от названий иноземных замков.

Суффикс -ов в фамилии Асосков указывает на принадлежность: «чей?» — Асосков, то есть сын или потомок Асоска. Такая модель была самой распространённой в России, особенно среди крестьян и посадских людей, и закрепилась в качестве фамилии к XVII–XVIII векам. Точное место и время, когда это произошло, сейчас установить трудно — процесс шёл постепенно и в разных регионах с разной скоростью.