Фамилия Асоскова — женская форма, мужской вариант — Асосков. Её основа — прозвище Асосок, которое, скорее всего, связано с диалектным словом «ососок». В старину так называли одиноких, беззащитных людей, сирот. Следовательно, основатель рода мог рано лишиться родителей или быть слабым, тихим ребёнком. Но у этого прозвища был и другой смысл: в переносном значении Ососок — бывалый человек, много переживший. Так могли назвать мастера своего дела или лихого, смелого человека.

Однокоренное прозвище встречается в исторических источниках: Ососко Иван, крестьянин, 1495 год, Новгород (упоминается в работах С. Веселовского). Чередование о/а в фамилии объясняется языковой нормой: безударный «о» в русском языке произносится как звук, близкий к «а», что и закрепилось на письме.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с латышским Асотским замком (Асоте), название которого переводится как «крепость». В этом случае предок Асосковых мог быть выходцем из местности, где располагался замок. Однако диалектное происхождение от прозвища представляется более правдоподобным, учитывая распространённость подобных моделей в русских фамилиях. Потомок человека по прозвищу Асосок со временем получил фамилию Асосков, а его дочь или жена — Асоскова.