Фамилия Асоска, на первый взгляд, звучит как что-то ласкательное или уменьшительное. И это верное направление: её основа — имя или прозвище, а суффикс -к- указывает на то, что фамилия образована от производной формы. В русской ономастике фамилии на -ка часто носили украинское или белорусское происхождение, хотя встречаются они и в южнорусских говорах.

Вероятнее всего, Асоска — это фонетический или диалектный вариант от имени Ася. Ася, в свою очередь, — уменьшительная форма от Анастасия (в просторечии Настасья) или от мужского имени Асаф (библейское Асаф, в русской традиции иногда звучало как Ас). В украинском языке имя Ася могло дать форму Аська, которая при переносе в письменные документы закрепилась как Асоска (через «о» в безударном положении или под влиянием акающих говоров). Прозвище Асоска могло закрепиться за человеком, которого в семье или в деревне звали ласково Асей, а потом это прозвище перешло к детям.

Другая, менее вероятная версия связывает фамилию с диалектным словом «асос» или «асоска» — так в некоторых местностях могли называть осину или что-то осиновое. В этом случае предок мог получить прозвище по месту жительства (у осиновой рощи) или по занятию (например, изготовлением чего-то из осины). Но прямое значение «осина» для слова «асоска» не зафиксировано в основных словарях, поэтому эта гипотеза остаётся спорной.

С точки зрения географии, фамилия Асоска крайне редкая. В современных базах данных она встречается единично, преимущественно на западе России и в Беларуси. Это говорит о том, что фамилия не прошла массовую унификацию и сохранила местный, возможно, даже однофамильный характер — то есть могла принадлежать одной семье или выходцам из одного села.

Социальный контекст фамилии типичен для крестьянской или мещанской среды: прозвище, образованное от домашнего имени, не несёт указания на сословие, но подчёркивает бытовое, неофициальное происхождение. В дореволюционных метрических книгах Асоска могла писаться по-разному: Асоско, Аська, Асосков, пока не закрепилась в современном виде.