Фамилия Асюта — редкий случай, когда в основе лежит не полное имя, а его краткая, домашняя форма. Её ядро — Ася, уменьшительное от целого ряда женских имён: Анастасия, Александра, Анна, Аксинья. Суффикс -ут(а) в русских фамилиях встречается нечасто, но он хорошо известен в украинской и белорусской ономастике, где с его помощью образовывали ласкательные или пренебрежительные прозвища (ср. Лизута, Марута). Так что Асюта — это, скорее всего, «Ася» с экспрессивным суффиксом, который в восточнославянской традиции мог закрепиться за человеком как уличное прозвище.

По модели образования фамилия относится к типу прозвищных, которые не получили дополнительного патронимического суффикса вроде -ов или -ин. Это характерно для украинских фамилий (например, Шевченко, Гмыря) и для фамилий на -а, -я, которые фиксировали прозвище в чистом виде. В русском контексте такие фамилии чаще всего встречаются на юге и западе России, в зоне контакта с украинскими говорами. Поэтому географически Асюта с наибольшей вероятностью происходит из Слобожанщины, Курской или Воронежской губерний, либо из белорусских земель.

Мужчина, носивший прозвище Асюта, мог быть сыном женщины по имени Ася — в крестьянской среде детей нередко называли по матери, если отец был без вести пропавшим или умершим рано. Но более вероятно, что прозвище давали по внешности или поведению: «асютой» могли окрестить невысокого, подвижного человека, похожего на «Асю» — ласковое, домашнее существо. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные модели описаны как «фамилии от личных имён через суффиксы субъективной оценки», но без специального разбора Асюты — эта фамилия настолько редка, что не попала в основные академические справочники.

В современной России Асюта остаётся фамилией с очень низкой частотностью. Её носители встречаются единично, в основном в центральных и южных регионах. В отличие от фамилий на -енко или -ук, Асюта не даёт однозначной этнической привязки — она могла возникнуть как в русской, так и в украинской среде, но её суффикс выдает скорее украинскую или белорусскую диалектную основу. Если вы встретили человека с такой фамилией, скорее всего, его предки жили на границе лесостепной полосы, где перемешивались говоры и ономастические традиции.