Фамилия Атанасови в русском контексте — редкий гость, и её форма сразу выдает нерусские, скорее всего южнославянские корни. В основе лежит крестильное имя Атанас — народный вариант греческого Афанасий, что означает «бессмертный». В Болгарии, Сербии и Македонии это имя распространено повсеместно, и фамилии на -ови образуются по продуктивной модели: к основе имени добавляется суффикс принадлежности. Атанасови, таким образом, буквально значит «потомок (сын) Атанаса».

От русских фамилий эту форму отличает именно суффикс -ови. В русской ономастике фамилии на -ови встречаются, но крайне редко — в западнорусских землях или у выходцев из Речи Посполитой, и чаще с ударением на предпоследний слог (Атана́сови). Однако для носителя фамилии Атанасови вероятнее всего болгарские или сербские корни. В Болгарии фамилии на -ов и -ев — массовое явление, а форма на -ови может быть архаичным или диалектным вариантом, либо указанием на множественное число (род, клан Атанасовых). В Сербии же абсолютная норма — фамилии на -ович (Атанасович), и написание Атанасови может быть результатом упрощения при записи в русских документах, либо принадлежностью к воеводинскому или хорватскому говору, где конечное -ч часто редуцируется.

Если ваши предки носили эту фамилию в России, стоит искать следы переселенцев с Балкан — крестьян, купцов или священнослужителей. Фамилия не указывает на дворянское происхождение, но и не исключает его: в среде балканского духовенства и зажиточных горожан фамилии на -ови были обычны. Однокоренные русские фамилии — Атанасов, Атанасьев, Афанасьев — встречаются повсеместно, но Атанасови стоит особняком, сохраняя иноязычную огласку.