Фамилия Атанасови в русском контексте встречается редко и почти всегда указывает на нерусское, скорее всего южнославянское происхождение. Её ядро — крестильное имя Атанас, народная форма греческого имени Афанасий, которое означает «бессмертный». В Болгарии, Сербии и Македонии имя Атанас широко распространено, и фамилии на -ови образуются по продуктивной модели: основа имени плюс суффикс принадлежности. Атанасови, таким образом, значит «потомок (сын) Атанаса».

От русских фамилий эту форму отличает суффикс -ови, а не привычные -ов или -ев. В русской ономастике фамилии на -ови встречаются, но крайне редко, обычно в западнорусских землях или у выходцев из Речи Посполитой, и чаще в форме с ударением на предпоследний слог (Атана́сови). Однако для носителя фамилии Атанасови вероятнее всего болгарские или сербские корни. В Болгарии фамилии на -ов и -ев — массовое явление, а форма на -ови — архаичный или диалектный вариант, либо указание на множественное число (род, клан Атанасовых). В Сербии же фамилии на -ович (Атанасович) — абсолютная норма, и написание Атанасови может быть результатом упрощения при записи в русских документах, либо принадлежностью к воеводинскому или хорватскому говору, где конечное -ч часто редуцируется.

Если ваши предки носили эту фамилию в России, стоит искать следы переселенцев с Балкан — крестьян, купцов или священнослужителей. Фамилия не указывает на дворянское происхождение, но и не исключает его: в среде балканского духовенства и зажиточных горожан фамилии на -ови были обычны. Однокоренные русские фамилии — Атанасов, Атанасьев, Афанасьев — встречаются повсеместно, но Атанасови стоит особняком, сохраняя иноязычную огласку.