Фамилия Авагимян — армянская, и её устройство сразу выдаёт родовую историю. В армянском языке окончание -ян (в старой передаче -янц) означает «из рода» или «принадлежащий к дому». Это аналог русского суффикса -ов/-ев: Авагимян буквально — «из семьи Авагимов». Сама фамилия восходит к личному имени Авагим, которое образовано от армянского слова «авак» — «старшина рода» или «старейшина». Так что, по смыслу, Авагимян — это «потомок старшины» или «из рода старейшины».

Обратим внимание на суффикс -им. В армянской ономастике он встречается реже, чем более массовые -ян и -уни, и может указывать на конкретную ветвь рода или диалектную особенность. Имя Авагим в основе — не календарное и не библейское, а именно социальное прозвище, которое давали главе общины или родовому вожаку. Это значит, что предок носителя фамилии, скорее всего, был выборным или наследственным старшиной в своей общине — на Кавказе такие должности часто переходили по мужской линии и закреплялись в фамильном имени.

Фамилия Авагимян — не самая массовая в армянском ономастиконе. Она распространена преимущественно среди армян, переселившихся в разные регионы в XIX-XX веках, в том числе в Краснодарский край, Ростовскую область и страны Закавказья. В написании возможны варианты: Авагимян, Авагымян, реже Авахимян — это следы разных диалектов армянского языка, где «к» могло переходить в «х» или «г». Но корень везде один: «авак» — старшина.

Таким образом, фамилия Авагимян — не просто родовое имя, а прямое указание на социальный статус предка. Она говорит о том, что основатель рода был не рядовым общинником, а человеком, которого выбрали или признали старшим.