Фамилия Авекина образована от мужской формы Авекин, а та, в свою очередь, — от имени или прозвища Авека. В русской ономастике суффикс -ин указывает на принадлежность: Авекин буквально значит «сын Авеки». В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще давали по отцу, -ин мог закрепляться и за прозвищем матери или бабки, если женщина в семье играла заметную роль, но в данном случае основа мужского рода.

Самая вероятная версия — Авека это производная форма от крестильного имени Аввакум (др.-евр. «обнимающий»). В русской народной среде имя сокращали до Аввак, Аввака, Авека — так же, как Евдокия превращалась в Авдотью. В пользу этой гипотезы говорит и то, что фамилии от Аввакума встречаются в разных вариантах: Аввакумов, Авакумов, Авеков, Авекин. Менее распространённая гипотеза связывает Авеку с диалектным глаголом «авекать» — в некоторых говорах так называли невнятную, бормочущую речь или звук, издаваемый при испуге. Но эта версия слабая: глагол редкий и локальный, а имя Аввакум было повсеместным.

Фамилия Авекина не относится к числу распространённых. По переписям XIX — начала XX века она фиксируется в основном в центральных и северных губерниях России — в Ярославской, Костромской, Вологодской. Там имя Аввакум было в ходу у старообрядцев, которые почитали протопопа Аввакума как мученика. Поэтому предки современных Авекиных с высокой вероятностью были староверами, возможно, крестьянами или посадскими людьми, сохранявшими древние имена в быту дольше, чем официальная церковь.

Написание через «е» (а не «о») — характерная черта северного акающего говора: безударное «о» произносилось как «а» и закреплялось на письме. В документах встречаются варианты Авакин, Овекин, но Авекин — основной, именно он лёг в основу женской формы Авекина.