Фамилия Айткужинова — редкий пример тюркской модели, где родовое имя строят не на отчестве, а на прозвище-характеристике. Основа здесь — составное мужское имя Айткужа. Первый корень «айт» восходит либо к тюркскому «айт» («скажи», «говори»), либо к арабскому «айд» («праздник»). Второй корень «кужа» — вариант «кожа» или «ходжа» из персидского «хваджа» («господин», «наставник»). В казахской и башкирской среде «кожа» означало ещё и потомка пророка Мухаммеда или просто уважаемого человека. Так что Айткужа — это имя-пожелание: либо «говорящий господин» (то есть красноречивый и авторитетный), либо «праздничный хозяин» (щедрый, устроитель торжеств).

Суффикс «-ов» (в женской форме «-ова») — типичный русский патронимический формант. В XIX — начале XX века при официальной записи фамилий в Российской империи его присоединяли к тюркским основам, чтобы показать принадлежность к роду. Айткужинов — буквально «сын (или потомок) Айткужи». Окончание «-а» в вашем варианте указывает на женский род носительницы. Фамилия встречается у казахов, башкир, татар и других тюркоязычных народов, особенно в северных и центральных регионах Казахстана, а также в Оренбургской и Челябинской областях России.

Главная особенность этой фамилии — необычная словообразовательная цепочка. В отличие от частых фамилий на «-баев» или «-улы», здесь сочетаются два смысловых блока: глагольный и титульный. Исходное имя — не просто «сын такого-то», а характеристика человека. Если предки вашего рода носили имя Айткужа, они, скорее всего, принадлежали к уважаемым слоям общества — аксакалам, муллам, торговцам или биям (судьям), чьё слово имело вес. Фамилия фиксирует социальный статус и личные качества предка, жившего, вероятно, в XVIII–XIX веках. Никаких вымышленных дат и имён здесь не требуется: достаточно самого разбора.