Фамилия Азёмкина — женская форма, а мужская, Азёмкин, образована по самой частотной в русском языке модели: от основы на согласный с помощью суффикса -ин. Это указывает, что в основе лежит имя или прозвище Азёмка. Суффикс -к- в нём — уменьшительный, как в Ванька, Петька, Митька. Значит, Азёмка — это ласкательное или обиходное именование человека. Но вот что стояло за этим именем — вопрос интереснее.

Корень здесь — Азём-. В славянской ономастике известна фамилия Азёмов, а также прозвище Азём. Скорее всего, оно восходит к диалектному слову «азём» или «озём». В южнорусских и украинских говорах так называли озимь — посевы озимой ржи или пшеницы. Человек мог получить прозвище Азём, если был крестьянином, связанным с такими полями, или жил на земле под озимыми. Эта версия — самая правдоподобная, и её поддерживает география фамилии.

Основной массив носителей сосредоточен в Поволжье, особенно в Самарской и Ульяновской областях, а также в Татарстане. Это область бытования южнорусских говоров, где слово «озём» было в ходу. Именно здесь озимые культуры традиционно занимали большие площади, и прозвище по роду занятий или месту жительства возникало естественно. Менее вероятна, но возможна связь с личным именем Осип (Иосиф) в его народных формах — Азип, Азёп, где Азёмка могло быть вариантом. Однако эта гипотеза слабее: переход от «Осип» к «Азём» требует дополнительных фонетических допущений, которых нет в случае с диалектным «озём».

Сословно фамилия указывает на крестьянское происхождение. Азёмкины — это бывшие государственные или помещичьи крестьяне, чей предок носил прозвище или некалендарное имя Азёмка. Имя в крестьянской среде давали не по святцам, а по приметам или занятиям, поэтому Азёмка — это «человек с озимого поля». Встречается и написание с буквой «ё» — Азёмкина, что исторически могло фиксироваться и как Аземкина из-за необязательности точек над «ё» в документах XIX века. Фамилия редкая, и её разбор — хороший пример того, как за простой уменьшительной формой может стоять точная географическая и хозяйственная привязка.