Фамилия Аземова — женская форма, мужской вариант — Аземов. В основе фамилии лежит личное имя или прозвище Азем. Скорее всего, это усеченная форма от мусульманского имени Азем, которое восходит к арабскому «азим» — «великий», «могучий», «величавый». В тюркских языках, особенно у татар и башкир, имя Азем (Азим) было распространено как самостоятельное, а также как компонент сложных имен (например, Абдулазим — «раб Великого»). Таким образом, предок носительницы фамилии мог получить имя, подчеркивающее значимость или силу.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий от иноязычных основ. В XIX–XX веках так оформляли фамилии многих народов Поволжья, Кавказа и Средней Азии при переходе на русское делопроизводство. Соответственно, географически фамилия Аземова чаще всего встречается в регионах с татарским, башкирским или кавказским населением — в Татарстане, Башкортостане, а также в Азербайджане (где имя Азем/Азим тоже употребительно).

Встречается и более редкая версия: фамилия могла образоваться от прозвища Азем, данного человеку по какой-то характерной черте. В некоторых тюркских диалектах «азем» могло означать «упрямый», «своенравный». Однако это предположение менее обоснованно: в ономастике чаще фиксируется связь с арабским именем, чем с нарицательным словом.

В дореволюционных переписях и метрических книгах фамилия Аземов фиксировалась преимущественно у крестьян и мещан. Известных исторических личностей с такой фамилией в общероссийских энциклопедиях нет — это рядовая, но нередкая фамилия в своих регионах.