Фамилия Аземша образована от прозвища, которое, скорее всего, связано с украино-белорусским диалектным словом «аземіна» — так называют озимь, то есть осенние посевы злаков, которые всходят осенью и зимуют под снегом. Человек, получивший такое прозвище, мог заниматься выращиванием озимых культур. Однако прозвище могло быть и переносным: в народе «озимью» нередко называли крепкого, выносливого человека, который «не боится морозов» — то есть стойкого и закалённого.

Словообразовательная модель фамилии указывает на её восточнославянское происхождение. Суффикс -ша встречается в украинских и белорусских фамилиях, чаще всего в тех, что образованы от прозвищ с уменьшительным или ироничным оттенком. Таким образом, Аземша — это не просто «тот, кто сеет озимые», а скорее «человек, получивший прозвище Озимь» (в местном произношении — Азем). Фамилия закрепилась в форме именительного падежа единственного числа, без добавления типичных русских суффиксов -ов или -ин, что также говорит о её западнорусских или белорусских корнях.

Географически фамилия Аземша встречается в основном на западе России, а также в Беларуси и на востоке Украины. Встречаются варианты написания через «о» — Оземша, что подтверждает связь с корнем «озимь» (чередование о/а в безударной позиции). Сословной принадлежности предков Аземша точно установить нельзя: прозвище могли дать как крестьянину-земледельцу, так и ремесленнику, если его характер или внешность напоминали окружающим «озимь» — что-то живучее и неприхотливое.

В ономастических справочниках фамилия Аземша не относится к числу частых, что делает её особенно интересной для изучения. Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Озимов, Озимков, — то Аземша стоит особняком: она сохранила старую, почти диалектную форму без переоформления в типичную русскую модель. Это говорит о том, что фамилия могла закрепиться в письменных источниках относительно поздно, уже в том виде, в каком бытовала в устной речи.