Фамилия Аземка — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её окончание -ка сразу наводит на мысль об украинском или белорусском корне: в этих языках суффикс -к(а) часто образует фамилии от личных имён, прозвищ или названий профессий. Однако основа «Азем-» не встречается в распространённых славянских именах вроде Адам или Азарий. Тут возможны два основных пути.

Первый и самый вероятный: фамилия произошла от прозвища Аземка, которое, в свою очередь, восходит к диалектному слову «азям» (или «озям»). В северных и сибирских говорах так называли долгополую крестьянскую верхнюю одежду, что-то вроде кафтана из грубого сукна. Прозвище Аземка могли дать портному, который шил такие кафтаны, или человеку, который постоянно носил азям — например, ямщику или крестьянину, работавшему на морозе. Фамилии от названий одежды — явление обычное (вспомните Шубин, Тулупов, Кафтанов), и Аземка вписывается в этот ряд.

Вторая версия, менее убедительная, но допустимая: связь с тюркским именем Азем (вариант Азим, Азам), которое означает «великий». В таком случае суффикс -ка мог добавиться уже на русской почве, придав фамилии уменьшительно-ласкательный оттенок. Но эта гипотеза слабее, потому что фамилии от тюркских имён обычно сохраняют форму Азимов или Азамов, а не Аземка.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России и Беларуси. Встречается в Псковской и Смоленской областях, а также в Витебщине. Именно в этих регионах слово «азям» было в ходу, и там же активно работала модель образования фамилий через суффикс -ка (сравните: Козел → Козелка, Шуба → Шубка). Сословной привязки нет: носителями фамилии могли быть и крестьяне, и ремесленники, и однодворцы.

Таким образом, Аземка — это, скорее всего, «фамилия-одежда». Предок её первого носителя либо шил азямы, либо постоянно ходил в таком кафтане, и прозвище закрепилось за его потомками. Тюркская версия остаётся на правах гипотезы, но не находит серьёзного подтверждения в реальном распределении фамилии.