Фамилия Азёмкин — редкий случай, где фамильный суффикс почти полностью скрывает исходное слово. Разбираем её по составу: корень «Азём-» и суффикс «-кин». Последний указывает на принадлежность — «чей?» — то есть «сын Азёмы» или «человек из семьи Азёмы». Значит, в основе фамилии лежит прозвище или имя Азёма.

Что такое «Азёма»? Тут возможны два пути, и оба ведут к диалектной фонетике. Первый: Азёма — это фонетический вариант имени Озёма. В русских говорах «аканье» могло превратить «О» в «А» на письме. Озёма, в свою очередь, — производное от слова «озимь» (озимые посевы). Прозвище Озёма могли дать крестьянину, который сеял озимые, либо человеку, родившемуся или крещённому в период озимого сева. Второй вариант: Азёма — это форма от имени Азар (библейское Азария, означающее «помощь Божия»). В народном произношении Азар могло превратиться в Азёр, а затем через «еканье» — в Азёма. Суффикс «-ма» в русских прозвищах встречается, хоть и нечасто (сравните: Косма, Кузьма, но там другая природа).

Более правдоподобной выглядит первая версия — от озими. Слишком конкретное и бытовое прозвище для крестьянской среды, где фамилии и складывались. Имя Азар в народе было редким и чаще давалось в церковной, а не в обиходной форме.

Географически фамилия Азёмкин тяготеет к центральным и южнорусским областям — там, где было развито озимое земледелие и где «аканье» в речи было нормой. Встречается она нечасто, что подтверждает её происхождение от локального прозвища, а не от распространённого крестильного имени. Носитель фамилии Азёмкин, скорее всего, потомок земледельца, которого в деревне знали по его связи с озимыми полями — либо по работе, либо по времени рождения.