Фамилия Аземко — редкий пример, где суффикс -ко сразу выдаёт регион происхождения: это типичная украинская или белорусская фамилия, образованная по модели, широко распространённой на землях бывшей Речи Посполитой. Суффикс -ко в восточнославянских фамилиях чаще всего выполнял две функции: указывал на «сына» или «маленького» (уменьшительность). То есть Аземко — это, скорее всего, «маленький Азем» или «сын Азема».

Корень фамилии — Азем. С ним сложнее: в русских и украинских святцах имени Азем нет. Есть две версии. Первая: это форма имени Азам, которое могло быть народным вариантом канонического имени Азамат (арабского происхождения, означает «великий, могучий»). Вторая версия, более вероятная для украинского контекста: Азем — это прозвище, восходящее к диалектному слову «азем» — так в некоторых говорах называли упрямого, своенравного или, наоборот, медлительного человека. В польском языке есть слово «azem» с похожим значением — «упрямец». Фамилия могла закрепиться за человеком с таким характером.

Географически фамилия Аземко встречается в основном на западе Украины (Волынь, Ровенская область) и в приграничных районах Беларуси. В России она редка. Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами, поскольку модель на -ко у дворянства практически не встречалась — там преобладали фамилии на -ский/-цкий.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Аземов, Аземин, Аземский) показывает, что Аземко — самая «демократичная» форма, без притяжательного суффикса -ов, а сразу с уменьшительным. Это говорит о том, что фамилия закрепилась в устной речи, а не в канцелярских документах, где чаще писали Аземов.

Итог: Аземко — фамилия-прозвище, указывающая либо на личное качество предка (упрямство), либо на его малое имя, образованное от Азамат. В любом случае — это фамилия человека, жившего на западе современной Украины или юге Беларуси, вероятно, в XVII–XVIII веках.