Фамилия Азинков — одна из тех, где за простым звучанием скрывается неочевидная история. На первый взгляд, её основа — «Азинк-» — кажется иноязычной или искусственной, но на деле она укладывается в старую русскую модель прозвищ, которые давали по характерному признаку или внешности. Разбираем её не с корня, а с суффикса: модель «-к-» + «-ов» типична для фамилий, образованных от прозвищ с уменьшительным или уничижительным оттенком. В том же ряду стоят Козлов (от Козёл и Козлик) или Петров (от Пётр и Петька). В основе фамилии Азинков лежит прозвище Азинко — скорее всего, производное от прилагательного «азий» или «азийский».

В старых русских говорах словом «азий» (или «азиатец») называли не столько жителя Азии, сколько человека смуглого, черноволосого, с восточным типом лица. Такое прозвище могли дать не только выходцу из ордынских земель, но и своему, русскому крестьянину, который выделялся тёмными глазами и волосами на фоне светловолосых соседей. Прозвищная версия убедительнее всего: «азий» как бытовое слово встречается в документах XVII–XVIII веков, а вот крестильное имя Аза (каноническая форма — Аза, Азий) в крестьянской среде почти не фиксируется, хотя в святцах есть мученик с таким именем. Если бы фамилия пошла от него, то скорее в форме Азинка — как уменьшительное от Аза или Азий, но это остаётся маловероятным вариантом.

Географически фамилия тяготеет к южным областям России — Курской, Воронежской, Ростовской. В этих краях, где веками соседствовали русские, украинцы и тюркские народы, прозвища по внешности были особенно распространены. Азинковы — потомки того самого «азийца», которого отметили метким словом. Есть и более спорная версия: в некоторых говорах «азий» могло означать не только смуглого человека, но и «непоседу», «озорника» — от редкого и локально ограниченного глагола «азить» (бегать, суетиться). Если так, то прозвище Азинко получил бойкий, вертлявый парень, но это толкование уступает основному по надёжности.