Фамилия Азимков на первый взгляд кажется прозрачной, но при детальном разборе открывает несколько слоёв. Записывается она по стандартной русской модели с суффиксом -ов, отвечающим на вопрос «чей?»: Азимков — сын или потомок человека по имени или прозвищу Азимко. Вопрос в том, что скрывается за этим прозвищем.

Наиболее убедительная версия ведёт к тюркскому имени Азим, восходящему к арабскому «Азим» — «Великий», «Могучий», один из эпитетов Аллаха в исламе. В русскую среду такое имя могло попасть через контакты с татарами, башкирами или другими народами Поволжья. Уменьшительный суффикс -к(о) превращал его в Азимко, а затем фамилия закрепилась в форме Азимков. Суффикс -ко характерен для южных и западных регионов (Украина, Белоруссия, южнорусские области), поэтому фамилия, скорее всего, возникла в зоне активного русско-тюркского взаимодействия — на юге России или в бывших «диких полях».

Менее вероятная гипотеза связывает фамилию с диалектным словом «азим» или «озим» — озимь, озимые посевы. Тогда Азимко мог быть прозвищем земледельца. Однако эта версия слаба: фамилия пишется через «а», а не через «о», и прозвища от «озимь» обычно давали в форме Озимов. Тюркское имя объясняет и начальное «а», и конечное «з» естественнее.

Фамилия Азимков редкая. Она не входит в списки распространённых русских фамилий, и её география не привязана к одному региону — носители встречаются и в центральной России, и в Поволжье. Это типичная «одиночная» фамилия, не разросшаяся в многочисленный род, а оставшаяся локальной. В дореволюционных источниках упоминания Азимковых единичны, что указывает на недворянское, крестьянское или мещанское происхождение.

Таким образом, с высокой вероятностью Азимков — фамилия, образованная от имени тюркского происхождения Азим (Азимко). Предки носителя, скорее всего, были русскими крестьянами или посадскими людьми, жившими в смешанной с тюрками среде, где имена заимствовались, а затем адаптировались по русским словообразовательным моделям.