Фамилия Азизбекьян — армянская по происхождению, что сразу выдает суффикс -ьян (или -ян), один из самых распространенных патронимических показателей в армянском языке. Он означает «принадлежащий к роду кого-либо» или «потомок». Таким образом, Азизбекьян — это потомок человека по имени или прозвищу Азизбек.

Основа фамилии составная, что встречается реже, чем односложные корни. Первая часть — Азиз — восходит к арабскому слову `عزيز` (`‘azīz`), которое означает «дорогой», «уважаемый», «могучий». В тюркских языках, с которыми армянский язык веками соседствовал, это слово также вошло как личное имя или часть имени. Вторая часть — бек — тюркский титул, обозначающий князя, господина или военачальника. Соединение этих двух элементов дает значение «дорогой (или уважаемый) бек» или, скорее, «господин Азиз».

Скорее всего, фамилия образована от составного личного имени Азизбек, которое давали мальчику в знак почтения или как пожелание знатного положения. По модели образования это типичная армянская фамилия, закрепившаяся в среде, где были сильны тюркские и арабо-персидские культурные влияния — в восточных областях исторической Армении или в среде армян, живших в Османской империи и Персии. Носители фамилии — потомки человека, которого звали Азизбек, и в родословной, вероятно, были люди, связанные с местной знатью или администрацией, раз в имени присутствовал титул «бек».

С точки зрения словообразования, фамилия не имеет русского суффикса -ов или -ин, что указывает на её прямое заимствование в русский язык из армянского. Встречаются варианты написания с одной «з» (Азибекьян) или с «о» вместо «а» во втором слоге, но форма Азизбекьян — наиболее точная, так как сохраняет исходное имя в основе. Географически фамилия распространена среди армянской диаспоры, особенно в России, Армении и странах Ближнего Востока.