Фамилия Азямова — женская форма от мужской фамилии Азямов, и её происхождение неочевидно на первый взгляд. Основа «азям» в русском языке — это не имя и не профессия, а конкретный предмет одежды. Азямом (или озя́мом) в старину называли долгополый кафтан из домотканого сукна, распространённый в крестьянской среде, особенно в северных и центральных губерниях России. Слово тюркского происхождения (от «аджем» — персидская ткань) и в говорах имело варианты «азим», «озям».

Фамилия образована по стандартной модели: к основе «Азям-» добавили притяжательный суффикс «-ов», указывающий на принадлежность. Первым носителем прозвища «Азям» мог быть человек, который шил такие кафтаны, торговал ими или просто часто носил эту одежду. В русской ономастике прозвища по названиям одежды — обычное дело (вспомните фамилии Шубин, Кафтанов, Сарафанов), но «Азямов» встречается реже, и это делает фамилию более локальной.

Географически фамилия Азямова (и Азямов) чаще всего фиксируется в Поволжье и на Урале, где слово «азям» бытовало дольше всего. Встречается она и у татарских родов (у татар «азям» тоже означало верхнюю одежду), поэтому в ряде случаев фамилия может иметь общее происхождение у разных народов региона — русских и татар, без заимствования, а на основе одного бытового слова.

Редкий суффикс здесь не при чём, но интересна форма: фамилия могла писаться через «о» — Озямов, что отражает акающее произношение в некоторых говорах. В документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне с прозвищем Азям, от которого и пошёл род. Сословно носители фамилии — почти наверняка крестьяне или посадские люди, поскольку знать не брала прозвища по крестьянской одежде.

Таким образом, фамилия Азямова — не про имя предка, а про его быт: скорее всего, он был портным, торговал сукном или просто выделялся длинным кафтаном. Версия с тюркским именем Азям (гипотетическое) менее правдоподобна, так как в именословах такое имя не зафиксировано.