Фамилия Азясева — женская форма, её мужской вариант Азясев образован по стандартной русской модели с суффиксом -ев. Этот суффикс отвечает на вопрос «чей?»: Азясев — сын или потомок человека по прозвищу Азясь. Основа Азясь звучит необычно, и разобраться с ней помогает диалектная лексика.

Скорее всего, прозвище Азясь связано со словом «азя» или «азей». В северных и сибирских говорах «азей» называли того, кто постоянно озирается, оглядывается или действует нерешительно, с опаской. Второе значение — «зябкий», «мерзлявый», от глагола «зять» (зябнуть). Такое прозвище могло закрепиться за человеком, который вечно кутался, мёрз или жаловался на холод. Версия о происхождении от редких крестильных имён Азарий или Азат менее убедительна: в русской среде они встречались нечасто, а диалектная основа выглядит естественнее.

Суффикс -ев, а не -ов, указывает, что основа оканчивалась на мягкий согласный. Фамилия могла возникнуть в северных или центральных регионах, где такие прозвища были в ходу. Встречается Азясева нечасто, что делает её ценной для локальной истории: носители, вероятно, происходят из одной или нескольких соседних деревень, где прозвище Азясь было привычным.

Азясевы — не дворянский род, а крестьянская или мещанская фамилия. Предок мог быть крестьянином, ремесленником или отходником, которого за привычку оглядываться или за зябкость прозвали Азясем. В переписных книгах XVII–XIX веков такие прозвища фиксировали, а затем они переходили в фамилии. Тюркских или финно-угорских корней у этой фамилии нет — основа чисто русская, диалектная.