Фамилия Азясева — женская форма, а её мужской вариант, Азясев, образован по стандартной русской модели с суффиксом -ев. Этот суффикс указывает на принадлежность: «чей?» — Азясев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Азясь. Основа фамилии — Азясь — звучит необычно и сразу привлекает внимание.

Вероятнее всего, прозвище Азясь связано с диалектным словом «азя» или «азей». В некоторых русских говорах, особенно на севере и в Сибири, «азей» — это человек, который постоянно озирается, оглядывается, или же тот, кто действует нерешительно, с опаской. Второе значение — «зябкий», «мерзлявый», от глагола «зять» (зябнуть). В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком, который постоянно кутался, мёрз или жаловался на холод. Возможно также, что Азясь — это искажённая форма крестильного имени, например, Азарий или Азат, но в русской среде такие имена встречались редко, и диалектная версия выглядит убедительнее.

Суффикс -ев, а не -ов, говорит о том, что основа Азясь оканчивалась на мягкий согласный. Фамилия могла возникнуть в северных или центральных регионах России, где такие прозвища были распространены. Встречается она нечасто, и это делает её ценной для локальной истории: носители, скорее всего, происходят из одной или нескольких соседних деревень, где прозвище Азясь было в ходу.

Азясевы — не дворянский род, а крестьянская или мещанская фамилия. Предок мог быть крестьянином, ремесленником или отходником, которого за характерную привычку оглядываться или за зябкость прозвали Азясем. В документах XVII–XIX веков такие прозвища фиксировались в переписных книгах, а затем переходили в фамилии. Других версий, вроде тюркского или финно-угорского корня, нет — основа чисто русская, диалектная.